Aritmética no ensino fundamental


Questões de matemática

1 – Por que a adição é uma operações mental?

Porque é uma abstração construtiva de combinar dois totais para criar um total de ordem superior no qual os totais anteriores se tornam duas partes. Ex: 3 e 5 a soma 8 é um total de ordem superior no qual o 3 e o 5 se tornam duas partes.

2 – Quais são os fenômenos mais comuns que podem ser observados quando crianças da educação infantil ou da 1ª série adicionam números. Explique o porquê disso acontecer.

O primeiro é o comportamento de contar tudo em oposição a contar para a frente. Na contagem para frente, as crianças somam 3 e 5, por exemplo: Contando os dedos a partir de 3 dizendo: quatro, cinco, seis, sete, oito. Na contagem do todo, ao contrario, lãs contam três dedos, então outros cincos dedos e contam todos eles de ponta a ponta, começando de “um” dois, três…

3 – De que modo a construção da relação de inclusão hierárquica e inclusão de classe interferem na resolução de adições e subtrações?

Interferem quando a criança não consegue entender que uma classe é formada pela união de sub-classes. Assim, por exemplo: se ela somar 3+2, ela terá que entender que dentro da classe 3 estão incluídas as sub-classes 2 e 1, e dentro da classe 2 está incluída a sub-classe 1, tornando essas duas sub-classes exclusivas. Se a criança fizer uma subtração como por ex: 8-3, ela tem que entender que já possui 8 (classes) e tem que descender desse total 3 (sub-classes) para chegar a outra sub-classe. São relações de parte todo e todo parte (parte complementar).

4 – Explica: “Adição é um fato”.

A maioria dos professores de matemática falam de 3+5=8 como um “fato de adição”. De um ponto de vista piagetiano, entretanto, não existe tal coisa como um fato de adição. Um fato é empiricamente observável , e números não são observáveis. Três fichas são observáveis, mas três é uma relação feita por abstração construtiva, e é conhecimento lógico-matemático. São três não é observável, 3+5=8 também não é observável.

5 – Qual a importância de capacitar o aluno a construir uma rede de relações numéricas? Exemplifica uma atividade que poderia possibilitar essa construção.

O professor tem por objetivo fazer com que o aluno tenha um pensamento reversível, para que através destas redes de relações entenda que há várias maneiras de pensar o número. Ex.: há muitos modos de pensar “nove”: 8+1, 5=4, 7+2, 6+3, 10-1, 15-6, 2+2+5, o dobro de 5 menos 1 etc. (autonomia de pensamento).

São essas redes de relações que a criança faz para chegar ao numero pensado que futuramente a ajudara a criar sub-classes, a entender que adição é o inverso da subtração, ajudará nas adições com transporte e subtrações com retorno, a trabalhar como multiplicação e divisão.

6 – A autora Kamii (2002, p.94), apresenta seis objetivos na adição para resolução de problemas de adição e subtração. Justifica a importância daqueles que pensas serem os mais relevantes.

Esses seis objetivos são importantes pois as crianças aprendem a construir a rede de relações do número, facilitando o entendimento sobre sistema decimal, adição e subtração. Assim, o entendimento sobre a adição com e sem transporte e sobre a subtração com ou sem retorno é facilitado, pois a criança desmembra os números fazendo as várias relações possíveis e agrupa-os de 10 em 10

7 – Analisa o uso dos algoritmos na resolução de adições e subtrações, cria um ex de adição e subtração com dois algarismos (com transporte e retorno) para explicar a tua análise.

Segundo Kamii o uso dos algoritmos é prejudicial à criança pois estas tem a tendência de pensarem os números sem seu valor posicional , isto leva a criança a não desenvolver o senso numérico, sendo assim elas acabam abandonando seus próprios pensamentos. Mas o uso do algoritmo é conveniente para adultos pois estes já conhecem o valor posicional dos números, sabem que o 5 de 53 é 50.

8 – Por que a subtração é mais difícil para as crianças do que a adição? (pensar não só nas relações necessárias como no fato dela ser antinatural).

A adição é mais fácil pois apenas une duas ou mais partes, a subtração requer um fragmentação de uma parte tornando complexo. O terma mais expressa uma coisa positiva e o termo menos algo de negatividade o que é antinatural para uma criança. Segundo Piaget crianças pequenas geralmente pensam em objetos e ações positivamente durante o período pré-operacional.

9 – De acordo com Kamii (2002, p111-112) os problemas de subtração do ponto de vista das crianças podem ser resolvidos através de adições. Explica as relações que normalmente as crianças utilizam para resolver problemas de separação, parte-parte-todo, comparação, aqualização.

SEPARAÇÃO EX.:

Vc tem 17 doces. Vc me dá 12 deles. Com quantos doces vc ficou?

A criança contará doze doces e os dará e contará com quantos ficou no caso 6 (uma parte é tirada do todo)

PARTE-PARTE-TODO

Há 40 frutas na tigela, 21 são maças e o resto são pêras. Quantas pêras há na tigela?

A criança irá separar as frutas e contar quantas tem de cada uma, no caso 21 maças e 19 pêras.

COMPARAÇÃO

Vc tem 30 doces. Eu tenho apenas 12. Quantos doces vc tem a mais que eu?

A criança iguala o nº de doces que ela tem igual a outra criança, sendo assim o que sobrar será o que ela tem a mais. (relação parte-todo dos totais)

EQUALIZAÇÃO

Eu tenho 13 velas. Eu preciso de 20 para o bolo de aniversário. Quantas mais eu preciso?

A criança pega as unidades que tem e passa a acrescentar as demais unidades até adquirir o nº desejado.

10 – Diferencia o campo conceitual das estruturas aditivas do campo conceitual das estruturas multiplicativas.

O campo conceitual das estruturas multiplicativas não é o mesmo das estruturas aditivas. Requerem esquemas de pensamento diferentes. Sendo ADIÇÃO: Esquemas de juntar e separar, e MULTIPLICAÇÃO: Esquema de proporção correspondente.

O campo conceitual das estruturas aditivas é constituído de situações que envolvem a adição e a subtração isoladamente ou a combinação dessas operações, bem como outros conceitos matemáticos.

Já o campo conceitual das estruturas multiplicativas não se restringem apenas aos conceitos de multiplicação e divisão, envolve a noção de proporcionalidade, partição, múltiplos, divisores e frações.

11 – Por que apenas uma soma de parcelas não dá conta da construção do conceito de multiplicação?

Porque nas situações aditivas o todo é obtido pela soma das partes, sendo essas partes grandezas ou quantidades de uma mesma natureza. Na situação multiplicativa estão envolvidas grandezas de natureza distintas. Na multiplicação temos a relação de proporcionalidade, de correspondência.

12 – Qual o conjunto de esquemas de conceitos presente no campo conceitual das estruturas aditivas? E das multiplicativas?

Pra dar conta do conjunto de situações presentes num campo conceitual é necessário um conjunto de esquemas de conceitos de representações simbólicas. O conjunto de esquemas de conceitos presentes no campo conceitual das estruturas ADITIVAS ë: esquema de juntar e separar. O conjunto de esquemas de conceitos presentes no campo conceitual das estruturas MULTIPLICATIVAS é: Esquemas de proporção correspondência.

13 – Vimos que as situações problema abaixo podem serem resolvidas através de adições.

-Mamãe foi a feira e comprou 4 maças e 4 pêras. Quantas frutas mamãe comprou ao todo?

Mamãe foi a feira e comprou 2 pacotes com 4 maças. Quantas frutas mamãe comprou ao todo?

No entanto, existem diferenças qualitativas significativas entre o raciocínio empregado em cada uma delas. Explique-as.

Nas situações aditivas o todo é obtido pela soma das partes, sendo essas partes grandezas ou qualidades de uma mesma natureza. É o caso do exemplo, pois a soma de 4 maças com 4 pêras só é possível porque ambas são frutas.

Nas situações multiplicativas estão envolvidas grandezas de natureza distinta. É o caso do exemplo 2, pois o problema envolve corresponderia entre valores de uma variável (pacotes) com outra variável (maçãs).

14 – Pq o desenvolvimento do pensamento multiplicativo trem inicio bem antes de lidar com algoritmos? E de que modo o professor pode proporcionar esse desenvolvimento desde a educação infantil?

O desenvolvimento do pensamento multiplicativo tem inicio bem antes de lidar com algoritmos, pois estão relacionados ao uso de correspondência, especialmente se esta correspondência se dá sob a forma de UM-PARA-MUITOS. o professor pode proporcionar esse desenvolvimento

15 – Explica de que modo um aluno resolve o problema: Tatiane possui 5 pacotes com 3 bombons cada um. Quantos bombons Tatiane possui ao todo? Utilizando: a) A estrutura aditiva, b) A estrutura multiplicativa?

Nas situações aditivas o todo é obtido pela soma das partes, sendo essas partes grandezas ou quantidade de uma mesma natureza. 3+3+3+3+3.

Nas situações multiplicativas estão envolvidas grandezas de natureza distintas, envolvendo correspondências entre valores de uma mesma variável . *** = *

16 – Diferencie a divisão de medida da divisão partitiva. A qual delas o algoritmo tradicional da divisão não condiz ao raciocínio utilizado na resolução do problema?

DM: 15 peixes sendo 3 peixes por aquário. Quantidade de elementos para colocar no conjunto (medida) mas não sei quantos conjuntos, logo ao realizar o algoritmo pergunto por quantas vezes posso tirar 3 peixes de 15, logo o algoritmo se assemelha ao pensamento da criança. 15 : 3 = 5 aquários, o 3 cabe 5 vezes dentro do 15;

DP: 15 peixes e 5 aquários. Ela tem a quantidade de conjuntos e deve repartir ou partir o total de peixes, assim a criança colocará de 1 em 1 nos conjuntos. Logo a regra prática do algoritmo não condiz ao raciocínio da criança.

17 – Terezinha Nunes afirma que “Criança pode aprender frações. E gosta”. De que maneira o estudo das frações pode tornar-se interessante e mais acessível aos alunos desde a ed. Infantil?

Terezinha afirma que a criança pode aprender frações e gostar, sendo importante utilizar o conhecimento dos alunos e trabalhar a representação desse conhecimento na escola. Na escola é ensinado que a fração é um tamanho absoluto, o que na verdade é uma relação entre uma parte e o todo, pois um treco é diferente se relacionado a 18, 15, 14, 17. O trabalho proposto prove que a partir do conceito de divisão pode-se levar à noção de fração. A autora sugere três idéias principais para trabalhar frações.;

A primeira idéia seria resolver problemas como 2 crianças recebem 3 barras de chocolate, como poderemos dividi-las? A professora ensina que 3 barras divididas por 2 crianças, escreve-se 3 divido por 2 ou 3/2, que é uma fração. A criança começa a pensar sobre a fração e a usar o raciocínio da vida diária para resolver problemas sobre fações .

Proporcionar a reflexão sobre a comparação de frações e equivalência, mas como uma comparação conceitual que interesse a criança. Por ex: 1/3 é monos que ¼. Se a criança ganha um bolo terá que dividir por três partes-um dividido por três, quando ganhar o mesmo bolo deverá dividir por 4 partes – um dividido por 4. Através das relações de fração não terá dúvidas de que 1/3 é maior do que ¼, pois está ligando a notação de fração a idéia de divisão.

A terceira idéia define que o ensino de frações, levando em consideração o cotidiano dos alunos, não deverá ser feito através de regras, com um nº em cima do outro e um tracinho. Levando em considerações as propostas apresentadas anteriormente, se fortalecerá as relações entre conceitos de divisão, multiplicação, parte/todo. Quando se ensina fração a partir da idéia de divisão, se discute as comparações entre frações, essa discussão leva ao mesmo tempo, à ordenação de frações e à equivalência.

18 – Terezinha Nunes faz uma forte critica ao ensino tradicional de frações. De acordo com a autora, qual é a base conceitual do ensino de frações e como este ensino poderia ser facilitado?

No ensino tradicional se esquece o que foi “aprendido”, pois não há relação do conteúdo com a prática diária. A base conceitual do ensino de frações se dá através da divisão. E isso poderia ser facilitado se trabalhássemos com base na construção do conceito e não na escrita da fração.

19- A autora que o mais importante na fração é uma relação e a idéia de divisão. Desse modo, justifica o porquê dessa importância na comparação de frações, ou seja, por que uma criança que tem isso claro não erraria a questão: qual a fração representa a maior quantidade, ½ ou 1/3?

É importante a comparação porque isso fortalece a relação entre os conceitos diferentes e isso proporciona uma evolução conceitual.

20- Descreva um material que pode ser utilizado para a introdução do estudo de frações?

O uso de blocos lógicos coloridos, material dourado, no flanelógrafo, por exemplo a própria criança poderá confeccionar o material e com isto o aprendizado estará construindo-se de forma prazerosa.

Brincando de dividir o bolo

Entregar para cada um disco dividido em partes diferentes

Chamar um grupo de cada vez pedindo para que um do grupo mostre e monte o seu bolo explicando em quantas partes está dividido.

Pedir para o outro apresentar partes diferentes (1/4, 3/3). Enquanto isso, o outro desenha no quadro e o outro escreve como se lê.

Através da brincadeira a criança estará reforçando a atividade cognitiva e também fortalecendo as relações de conceitos divisão, pois este conceito formado estará facilitando a compreensão de fração.

21- Ao observarmos alguns livros didáticos é possível percebermos que existe uma hierarquização de alguns conceitos no ensino de frações. Por exemplo, primeiro se dá um conceito formal (um número em cima do outro), sua leitura, fração do todo, fração da quantidade, tipos de frações, frações equivalentes, simplificação de frações, comparações de frações, e finalmente chega-se à adição de frações. Dentro de uma perspectiva construtivista e socioetnoculturalista, isso é viável, por quê?

É viável, pois constrói o conhecimento através de relações abstratas entre formas e grandezas reais e possíveis, prioriza mais o processo (maneira de operar o conhecimento), do que o resultado. O professor desafia o aluno, manipula, compara, constrói a partir do erro. O professor troca conhecimento, trabalha partindo da realidade do aluno, temas da sua vivência diária, ex. temas socioeconômicos;

22- Resolve a situação-problema e explica de que maneira e com que materiais o aluno poderia chegar ao seu resultado: A distância entre duas cidades é 78 km. Uma pessoa parte da primeira cidade para chegar na outra cidade e percorre quatro sextos do caminho. Quantos km ela percorreu? Que fração representa o percurso que falta para percorrer toda a distância?

78:6 = 13

Cidade A Cidade B = 6/6 = 78 km

13km 13km 13km 13km 13km 13km

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

13km 13km 13km 13km 13km 13km

DISTÂNCIA PERCORRIDA DISTÂNCIA QUE FALTA PERCORRER

REPRESENTADA PELA FRAÇÃO 4/6 REPRESENTADA PELA FRAÇÃO 2/6

4 x 13km = 52 km 2x13km = 26 km

52 + 26 = 78

Divide-se a distância total que separa as duas cidades em partes iguais, temos 78:6= 13km, logo cada parte vale 13km, ou 1/6. Então 4/6 dessa estrada são 4x13km= 52 km. A distância total é 6/6, ele percorreu 4/6 dessa distância. Logo a distância que falta percorrer é de 2/6. 6/6 –4/6= 2/6

O material usado pode ser uma barra de chocolate, que já tem as divisões. Cortaria o chocolate em 6 pedaços, separaria os 4/6, sobrariam 2/6. Ao juntá-las novamente teria os 6/6 de volta. Faria isso comparando os pedaços aos Km.

23- Que frações são equivalentes? Qual a importância da construção desse conceito e de sua classe para o estudo de frações?

Frações equivalentes são frações que mesmo possuindo algarismos diferentes, representam a mesma quantidade. Numa fração equivalente, os termos são proporcionais ao da outra fração, ou seja, o número de partes divididas aumenta proporcionalmente ao nº de partes tomadas.

½ = n x 1 ½ = { ½; 2/4; 3/6; 4/8; 5/10; …}

n x 2

A importância da construção desse conceito é mostrar ao aluno que ( numa representação gráfica ou material concreto), tanto faz ele se utilizar ou comer(conforme o exemplo dado), ½ ou 2/4 estará se utilizando ou comendo, a mesma quantidade. É saber discenir uma fração equivalente de outra fração, para determinar se tem a mesma quantidade ou não em ½ e 2/4. Diferenciando, por ex. ½ de 2/6.

A importância de sua classe é para o aluno, numa sequência de frações, saber determinar as que são equivalentes, sabendo que vai ter sempre a mesma quantidade, embora numerador e denominador sejam diferentes.

24- explica duas maneiras de decidir entre a maior fração: 7/8 ou 5/6:

Sugerimos que os alunos sejam agrupados para poderem utilizar duas ou mais réguas fracionárias.

É importante que construamos as transformações operacionais entre frações, primeiro com material concreto.

A representação através do desenho:

7/8

 x   x   x   x    x    x    x

5/6

   x    x    x    x    x

25- Escreve uma fração imprópria e transforme-a em número misto;

27/6 = 4 3/6 = 4 1/3

26-Sabemos que tradicionalmente ensina-se uma regra prática para resolver adições e subtrações entre frações. No entanto, tais regras que podem ser facilmente decoradas poderão também ser facilmente esquecidas. De que modo o professor pode contribuir para que isso não ocorra?

É importante que construamos as transformações operacionais entre as frações, primeiro com o material concreto, através das frações equivalentes, para depois passarmos para regras práticas que deverão ser construída pelos alunos.

O cálculo do m.m.c deverá aparecer naturalmente na tentativa de evitar a construção das classes de equivalência em todas resoluções.

27- Através de que materiais podemos trabalhar a multiplicação entre frações?

Usando dobraduras ou transparências;

28- Resolve a situação-problema, explicando através de material concreto como pensastes: “ Rafael tem ainda ¾ do seu salário e decidiu colocar 2/5 desse valor da caderneta de poupança. Que fração do seu salário Rafael colocará na caderneta de poupança?” Tradicionalmente, apareceria da forma resolva: ¾ x 2/5, de que forma seria ensinado?

Transparências sobrepostas ¾ x 2/5

Encontramos 2/5 do inteiro e depois ¾ do encontrado. O todo ficará dividido em 20 partes e os 2/5 tornam-se 8/20 dos quais queremos ¾, ficando então com 6/20 colocará na poupança.

6/20 = 3/10

29) Justifica a regra prática para resolver a divisão entre duas frações, ou seja, o porquê de repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da Segunda. Utiliza o exemplo 3/5 : 2/7.

Invertendo a Segunda fração e multiplicando ele terá o mesmo resultado de quando dividir normalmente as frações. 3:2 = 3×7 = 21

3          2                  3               7              21

__   :   ___   =  _____   x   ___  = _____

 5         7                  5                2             10

Obs: A fração vezes a fração inversa é igual a 1. Então pode ser feito o calculo direito, mas o aluno perceber isso sozinho.

30) De que maneira o professor pode introduzir o estudo dos números decimais?

O professor pode introduzir os números decimais através do material dourado (ou papel quadriculado), por ex: 1 inteiro, a barra é um décimo e um quadradinho é um centésimo. Pode ainda utilizar-se do sistema monetário e brincar de supermercado com encartes dos mesmos. Pode justificar ou construir a tradicional regra (multiplica normal e conta o total de casas depois da virgula e coloca no produto) transformando o número decimal em fração centesimal, os alunos perceberão a multiplicação de décimos por décimos como um aumento de algarismos da parte decimal.

31) Vimos que utilizar-se da História da Matemática para introduzirmos determinados conteúdos tornam sua aprendizagem mais interessante. Nessa perspectiva como poderíamos trabalhar as unidades de medida de comprimento com nosso aluno (o que é metro, qual a sua importância).

Medir a altura própria, medir objetos de uso pessoal e da sala de aula. Trabalhar comparações, com o objetivo de perceber diferenças de tamanho em metros, enfim, as atividades vão variar de acordo com os interesses da turma pelo tema proposto. Trabalhar a noção de metro pode ser explorada desde as séries iniciais, através de atividades informais, com recursos variados. Explorar esta unidade de medida possibilita a ampliação das noções de espaço que posteriormente serão necessários para o trabalho com outras unidades de medida. (área, perímetro, volume etc). Metro – é a distancia entre 2 marcas feitas numa barra de platina que se encontra na Repartição Internacional de Pesos e Medidas, em Servires, Paris (França) . Definição que pode causar bastante dificuldade entendimento pelos alunos, portanto, quanto mais atividades concretas e variadas, com recursos diversos, facilitam a construção de metro de maneira mais significativa.

32) Qual o significado dos prefixos gregos: kilo, hecto, deca, deci, centi, mili?

Kilo = 1000 vezes a unidade – K

Hecto = 100 vezes a unidade –h

Deca = 10 vezes a unidade – da

Deci = 1/10 vezes a unidade – d

Centi = 1/100 vezes a unidade – c

Mili = 1/1000 vezes a unidade – m

33) Quais as conversões do SIM?

SIM – Sistema Internacional de Medidas

34) Se uma polegada possui 2,54 cm quanto mede 4 jardas em metro?

1 jarda – 91,44cm

4 jardas 365,76 cm

365,75 – Xm

100 cm – 1m

R: 3,66 m

35) Descreve uma atividade para trabalhar a idéia de perímetro com os alunos das séries iniciais. Como já sabemos, que o perímetro é o comprimento da linha que contorna toda figura, vamos usar palitos de fósforo como unidades de medida construindo as seguintes figuras geométricas:

a) Quadrado de lado 4 un

Perimetro 164 palitos

b) Triângulo com base 3 un e altura 4 un.

Perimetro 11 palitos

c) Retângulo com base 5 un e altura 3 un.

Perimetro 16 palitos

36) Descreva uma atividade para trabalhar a idéia de área com os alunos das séries iniciais.

Lançar o projeto de se construir uma horta, instigar os alunos a descobrir, quantos metros são necessários para a criação da horta, quais os tipos de vegetais que podem ser plantados naquele espaço, quanto de terra em metro é preciso, quanto de madeira para cercar a horta. Quantas sementes por metro podem ser plantadas. Essa atividade além de trabalhar matemática de forma descontraída e construtiva, também pode ser feito em união com a matéria de ciências .

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